Il faut absolument que je partage cette vérité bouleversante qu’on vient de m’enseigner :
Dans un groupe, quel que soit sa taille, il y a toujours au moins deux personnes qui ont le même nombre d’amis (au sein du groupe).
C’est d’autant plus fascinant que la démonstration est suffisamment simple pour que je puisse la comprendre.
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Pour être rigoureux il faut préciser qu’on présuppose
1) qu’on ne peut pas être ami avec soi même
2) que si A est ami avec B, alors B est ami avec A
Pater Taciturnus 
Raisonnons par l’absurde. Dans un groupe de n personnes, si chaque personne avait un nombre différent d’amis, la variable « nombre d’amis » prendrait n valeurs entières différentes, toutes positives ou nulles, et toutes strictement inférieures à n (puisqu’on ne peut pas être ami avec soi même), donc toutes les valeurs de 0 à n-1. La personne qui a n-1 amis est nécessairement amie avec toutes les autres personnes du groupe, ce qui est incompatible avec le fait qu’une personne du groupe ait 0 ami.
Félicitations!
Si je ne me trompe c’est au programme de terminale ES.
A chaque fois qu’un de mes collègues de maths me parle de théorie des graphes , je regrette que cela n’ait pas été au programme quand j’étais au lycée.
Ce que je trouve intéressant de surcroît c’est que cela donne l’occasion de découvrir que des propositions qu’on pourrait croire empiriques sont en fait des vérités a priori. J’adore celle-ci par exemple (de mémoire):
« depuis les débuts de l’humanité il y a un nombre pair de personnes, qui ont serré la main à un nombre impair de personnes. »